Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+3与x轴的交点为A、B，其中点A在点B的右侧．点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一点，且四边形ABCD以AB为一底的梯形，若此梯形ABCD的面积为9．
（1）求点D、A、B的坐标；并求此抛物线的解析式．
（2）点E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在 （1）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题需先分a＞0和a＜0两种情况进行讨论，先求出抛物线的对称轴以及与y轴的交点坐标，然后求出C点的坐标，再根据梯形的面积求出AB的长，即可得出A、B的坐标及抛物线的解析式．
（2）本题需先设出E点的坐标，再代入抛物线的解析式即可求出点E的坐标，然后得出点E关于抛物线的对称轴对称的点E′的坐标，最后求出直线AE′的解析式从而得出抛物线的对称轴与直线的交点坐标，即是点P的坐标．
【解析】
（1）∵y=ax2+4ax+3的对称轴为x=-2，与y轴的交点坐标D点（0，3），
∴点C的坐标为（-4，3）
∴CD=8，梯形的高为3
∵S梯形ABCD=9
∴=9
∴=9
∴AB=2
∴A的坐标为（-1，0）
∴B的坐标为（-3，0）
把A（-1，0）代入y=ax2+4ax+3得；
∴y=x2+4x+3．

（2）当点E在抛物线y=x2+4x+3时
设E点的横坐标为-2m，则E的纵坐标为5m
把（-2m，5m）代入抛物线得：5m=（-2m）2+4×（-2m）+3
解得；m1=3，m2=
∴E的坐标为（-6，15）（舍去）或（-，）
∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为（-，）
∴直线AE′的解析式为y=-x-
∴P的坐标为（-2，）