Question

已知抛物线顶点D （0，），且经过点A（1，）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点F是坐标原点O关于该抛物线顶点的对称点，坐标为（0，）．我们可以用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交AA₁于A₂，则FA₂=1，A₂A=-=，在Rt△AFA₂中，有FA==．已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长；
（3）若点P是该抛物线在第一象限上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的大小关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）根据题意设抛物线顶点式：y=a（x-h）2+k，再将AD两点代入即可得出这条抛物线的解析式；
（2）先将点B的横坐标代入抛物线解析式，求出纵坐标，过点B作BB1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB1于B2，求得FB2=2，B2B，在Rt△BFB2中，由勾股定理求出FB=．
（3）
【解析】
（1）设抛物线顶点式：y=a（x-h）2+k，
∵抛物线顶点D （0，），且经过点A（1，）．
∴a（1-0）2+=，
解得a=2，
∴这条抛物线的解析式为y=2x2+；

（2）∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为，
过点B作BB1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB1于B2，
∴FB2=2，B2B=-=，
在Rt△BFB2中，∴FB===．

（3）相等，理由如下：
设点P的坐标为（a，2a2+），
过点P作PP1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交PP1于P2，
∴FP2=a，P2P=2a2+-=2a2-，
在Rt△PFP2中，∴FP====2a2+．
∴线段FP的长度与点P纵坐标相等．