Question

在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连接每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点（如图1），有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．
（1）如图4，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．
①写出相等的线段（不再添加字母）；
②求∠BCD的度数．
（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．

Answer

（1）①结合等腰梯形的性质及题意所表述的含义可写出符合题意的结论．②先证△ABC≌△DCB，得出∠DBC=∠ACB，根据题意可求得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，设∠ACB=x°，利用内角和定理可得出答案．
（2）可选择画菱形．
【解析】
（1）①AB=DC=AD，AC=BD=BC，
②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，
设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，
∴2x+2x+x=180，
解得x=36，
∴∠BCD=72°．

（2）所画图形如下：四边形ABCD是菱形（∠DAB=60°），

AB=BC=CD=AD=BD．