Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1）连接GD，求证△ADG≌△ABE；
（2）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1，BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B，C ），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变？若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer

（1）利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；
（2）作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答，∠FCH的大小总保持不变，由△EHF∽△ABE可得tan∠FCH=．
【解析】
（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG．
∴△BAE≌△DAG；

（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
由（1）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=2，
∴CH=BE，
∴==，
∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===2，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=2．