Question

如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，已知点A（-1，0），点C在y轴上，且BC∥x轴．
（1）求a的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）探究：
①若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAC周长的最小值；
②若点P是抛物线对称轴且在直线BC上方的一个动点，是否存在点P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题需先把点A的坐标代入抛物线的解析式即可得出a的值；
（2）本题需先根据x=0，得出AC=2，再根据对称性可得点B的坐标，求出BC的值，从而证出AC=BC，即可得出△ABC是等腰三角形；
（3）①本题须先根据题意得出直线AB与对称轴的交点为点P时，△PAC周长的最小，再求出AC+AB的值即可；
②本题需分当PA=AB时，当PB=AB时，当PA=PB时三种情况进行讨论即可得出点P坐标．
【解析】
（1）将点A（-1，0）代入抛物线，
得：，
解得；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，则，
∴点C（0，），
∴在Rt△AOC中，AC==2，
由对称性可得点B（2，），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于点B、C关于抛物线对称轴对称，
所以取直线AB与对称轴的交点为点P时，
△PAC周长的最小，△PAC周长=AC+AB=，
②当PA=AB时，点P坐标为，
当PB=AB时，点P坐标为，
当PA=PB时，点P坐标为（1，0）．