Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．

Answer

（1）直线与圆的关系无非是相切，相交和相离，只要连接OM证明OM是否与DC垂直即可得出结论．
解题思路：通过证明三角形AOD和DOM全等来求解．已知的条件有OA=OM，一条公共边OD，只要证明出两组对应边的夹角相等即可．
可通过OD∥MB，OM=OB来证得．
（2）求MC的长就要求出DC的长，也就是要求出AC的长．已知了D的坐标，那么AD，OA，AB的长就都知道了．
不难得出三角形OMC和DAC相似，因此可得出OM，AD，CM，AC的比例关系．已知了AD，OM的长，就能求出MC，AC的比例关系了．
在直角三角形ADC中，AD的长已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根据勾股定理和MC，AC的比例关系求出MC的长．也就求出了M的坐标．有了M和D的坐标可以用待定系数法求出DC所在直线的函数解析式．
【解析】
（1）答：直线DC与⊙O相切于点M．
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO与△DMO中，．
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
由于FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知===．
∴AC=2MC，
在Rt△ACD中，CD=MC+4．
由勾股定理，有（2MC）2+42=（MC+4）2，解得MC=或MC=0（不合题意，舍去）．
∴MC的长为．
∴点C（，0）．
设直线DC的解析式为y=kx+b．
则有．
解得．
∴直线DC的解析式为y=-x+．