Question

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD²+CE²=DE²；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）可根据（1）中的相似三角形BAE和CDA得出关于AB，BE，CD，AC的比例关系，AB，AC可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m，n的函数关系式．
（3）根据（2）的函数关系式，即可求出BE，CD的长，从而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的长，那么可通过计算得出本题的结论．
（4）根据旋转角，我们知道HB⊥BD，那么DH2=BH2+BD2，而BH=CE，于是关键是证明HD=DE，连接AH，DH那么可通过证三角形AHD和ADE全等来求解．
【解析】
（1）可得△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴．
由依题意可知CA=BA=．
∴．
∴m=．
自变量n的取值范围为1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m=，
∴m=n=．
∵OB=OC=BC=1，
∴OE=OD=-1．
∴D（1-，0）．
∴BD=OB-OD=1-（-1）=2-=CE．
DE=BC-2BD=2-2（2-）=2-2．
∵BD2+CE2=2BD2=2（2-）2=12-8，DE2=（2-2）2=12-8，
∴BD2+CE2=DE2．

（4）等量关系BD2+CE2=DE2成立．理由如下：
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中．
∵，
∴△EAD≌△HAD．
∴DE=DH．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2．
∴BD2+CE2=DE2．