Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O′交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，）． 
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O′的切线；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°到A′B′C′D′，直线CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接CE，根据圆周角定理的推论得到CE⊥x轴，再根据等腰梯形的性质得到EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，即可得到C点和D点坐标；
（2）连接O′E，由半径相等得到∠O′DE=∠1，再根据等腰梯形的性质得到∠CDA=∠BAD，则∠1=∠BAD，得到O′E∥BA，于是有O′E⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N，根据中心对称的性质得到C′D′∥CD，AN⊥C′D′且AM=AN，在Rt△CDE中，CE=，DE=2，得到∠D=60°，在Rt△ADM中，
根据含30度的直角三角形三边的关系得到AM=，MN=．根据切线的性质得到PD=MN=，作PQ⊥x轴于点Q，再根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PQ=9，DQ=3，然后分类推论：①若点P在DC的延长线上，②若点P在CD的延长线上，分别求出OQ，即可得到P点坐标．
（1）【解析】
连接CE，如图，
∵CD是⊙O′的直径，
∴CE⊥x轴，
∵四边形ABCD为等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
CE=BO=，
DE=AO=2
∴DO=4，
∴C（）D（-4，0）；

（2）证明：连接O′E，如图，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF为⊙O′的切线．

（3）存在．理由如下：
过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′与梯形ABCD关于点A成中心对称
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=AD•sinD=[2-（-4）]•sin60°=，
∴MN=．
设点P存在，则PD=MN=，
作PQ⊥x轴于点Q，
∴PQ=PD•sinD=6•=9，
DQ=PD•cosD=6•=3，
①若点P在DC的延长线上，
∴OQ=DQ-DO=3-4，
∴P（，9）．
②若点P在CD的延长线上，
∴OQ=3+4，
∴P（，-9）．
∴在直线CD上存在点P（，9）和P（，-9），使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切．