Question

如图，AB是半圆O的直径，以0A为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：
①点D为AC的中点；②S_△O′OE=S_△AOC；③；④四边形O′DEO是菱形．其中正确的结论是    ．（把所有正确的结论的序号都填上）

Answer

①连接DO，利用园中角定理以及垂径定理求出即可；
②利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求出即可；
③利用弧长计算公式求出即可；
④根据菱形的判定得出即可．
【解析】
①连接DO，
∵AO是半圆直径，
∴∠ADO=90°，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴①正确．
②∵O′E∥AC，
∴△EO′O∽△AOC，
∴=，
∴S△O′OE=S△AOC，
∴②错误．
③∵OD⊥AC，AD=DC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AO′D=∠AOC，
AO=2AO′，
∴；
∴③正确；
④∵D为AC中点，O′为AO中点，
∴DO′是△AOC中位线，
∴DO′∥CO，
∵O′E∥AC，
∴O′为AO中点，
∵D为AC中点，
∴DE∥AO，
∴四边形DO′OE是平行四边形，
∵DO′=O′O，
∴四边形O′DEO是菱形．
∴④正确．
综上所述，只有①③④正确．
故答案为：①③④．