Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

Answer

（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出．
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得；
（3）若S△FCG=1，由S△FCG=6-x，得x=5，此时，在△DGH中，HG=．相应地，在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．故不可能有S△FCG=1．
【解析】
（1）∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=2，即菱形EFGH的边长为2．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，
∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而S△FCG=×4×2=4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S△FCG=×2×（6-x）=6-x．（6分）

（3）若S△FCG=1，由S△FCG=6-x，得x=5，
此时，在△DGH中，HG=，
相应地，在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．
故不可能有S△FCG=1．（9分）
另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足AE=2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为HE=2．
此时，DG=2，故0≤x≤2．
而函数S△FCG=6-x的值随着x的增大而减小，
因此，当x=2时，S△FCG取得最小值为6-2．
又因为6-2=1，所以，△FCG的面积不可能等于1．（9分）