Question

已知：关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，并且抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x₁|+|x₂|=时，求a的值．

Answer

（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，∴α、β是关于x的方程x2-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根，再利用方程x2-（2a+1）x+2a-5=0的根的判别式求a的取值范围，又∵抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定；
（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值．
【解析】
（1）∵关于x的方程（a+2）x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根
∴
解得：a＜0，且a≠-2   ①
设抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x2-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根
∵△=[-（2a+1）]2-4×1×（2a-5）=（2a-1）2+21＞0
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5
∵抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴α＜2，β＞2
∴（α-2）（β-2）＜0
∴αβ-2（α+β）+4＜0
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-③
由①、②、③得a的取值范围是-＜a＜0；

（2）∵x1和x2是关于x的方程（a+2）x2-2ax+a=0的两个不相等的实数根
∴x1+x2=，x1x2=
∵-＜a＜0，∴a+2＞0
∴x1x2=＜0不妨设x1＞0，x2＜0
∴|x1|+|x2|=x1-x2=2
∴x12-2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2-4x1x2=8
∴（）2-=8
解这个方程，得：a1=-4，a2=-1（16分）
经检验，a1=-4，a2=-1都是方程（）2-=8的根
∵a=-4＜-，舍去
∴a=-1为所求．