Question

如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

Answer

（1）由折叠的性质知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B′CF的值，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB′的度数；
（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度数，然后由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．
【解析】
（1）由折叠的性质知：B′C=BC，
在Rt△B′FC中，
∵cos∠B′CF=，
∴∠B′CF=60°，
即∠BCB′=60°；

（2）图⑥中的△CGC'是正三角形
理由如下：
∵GC平分∠BCB′，
∴∠GCB=∠GCC′=∠BCB′=30°，
∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，
由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，
∴GC′=GC，
∴△GCC′是正三角形．