Question

如图，△AOB中，∠A=∠B，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA、OB于点E、F
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）当△AOB腰上的高等于底边的一半，且AB=时，求劣弧ECF的长及阴影部分的面积．

Answer

（1）由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切线；
（2）根据三角函数公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因为OA=OB，从而得出∠AOB=120度．由弧长公式可求得 的长为 ．由三角形面积及扇形面积可求出阴影部分面积．
【解析】
（1）连接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）过B点作BD⊥AO，交AO的延长线于D点．
由题意有AB=2BD，．
在Rt△ABD中，根据正弦定义 ，
∴∠A=30度．
在Rt△ACO中，，∠A=30°，
则AO=2OC．
由勾股定理，求得OC=2．
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120度．
由弧长公式可求得 的长为 ．
S阴影=S△OAB-S扇形0EF=4×2÷2-π•22=4-π．