Question

在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（ ）

A．①②
B．①②④
C．③④
D．①②③④

Answer

①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′=AD；
②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；
③假设∠ADB′=75°成立，则可计算出∠AB′B=60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾；
④根据∠ABB′=∠AB′B，∠AB′D=∠ADB′，结合周角定义，求出∠DB′C的度数．
【解析】
①∵点B′与点B关于AE对称，
∴△ABF与△AB′F关于AE对称，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故本选项正确；

②如图，连接EB′．
则BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C为直角三角形．
∵FE为△BCB′的中位线，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴=，
即==，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′为等腰直角三角形．
故本选项正确．

③假设∠ADB′=75°成立，
则∠AB′D=75°，
∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
故B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾，
故本选项错误．

④设∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故本选项正确．
故选B．