Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax²+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer

（1）根据B点坐标可求M点坐标，根据平移关系可知OD=MN=3，可求N点坐标，将D（3，0），M（0，2），N（-3，2）代入抛物线解析式，列方程组求解；
（2）连接AC交y轴与G，根据M为BC的中点求C的坐标，根据A、B、C三点坐标，判断BG为AC的垂直平分线，求直线BG的解析式，再与抛物线联立，解方程组求满足条件的P点坐标；
（3）由抛物线的对称性可知QE=QD，故当Q、C、D三点共线时，|QE-QC|最大，延长DC与x=-相交于点Q，先求直线CD的解析式，将x=-代入，可求Q点坐标，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，此时，|QE-QC|=CD，在Rt△CDF中求CD即可．
【解析】
（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与y轴的交点，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），
∴N（-3，2），
则，
解得，
∴y=-x2-x+2；

（2）连接AC交y轴于G，
∵M是BC的中点，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴y=-x+1，
∴，
解得，，
∴点P（3+3，-2-3）或P（3-3，-2+3），

（3）∵y=-x2-x+2=-（x+）2+2，
∴对称轴x=-，
令-x2-x+2=0，
解得x1=3，x2=-6，
∴E（-6，0），
故E、D关于直线x=-对称，
∴QE=QD，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-的交点，
由于M为BC的中点，
∴C（1，2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴y=-x+3，
当x=-时，y=+3=，
故当Q在（-，）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，
则CD===2．