Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

Answer

（1）令y=0，解x2-2x-3=0，可得AB的坐标；将C的横坐标代入，易得其纵坐标，结合A的坐标，可得BC的方程；
（2）设出P点的横坐标，表示出P、E的坐标，可得PE长度的表达式，进而根据x的取值范围可得线段PE长度的最大值．
【解析】
（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：，
解得：k=-1，b=-1，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当时，PE的最大值=．