Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们的运动时间为x（s）．
①求x为何值时，PQ⊥AC？
②当0＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，请说明理由；
③探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应的位置关系的x的取值范围（不要求写过程）

Answer

（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（3）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
【解析】
（1），
当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=；

（2）当0＜x＜2时，在Rt△QPC中，QC=2x，∠C=60°；
作QN⊥BC于N
∴NC=x，
∴BP=NC=x，
∴BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QP⊥BC，
∴AD∥QP，
∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当x=或 时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜或 ＜x＜或 ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．