Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为______；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值．

Answer

（1）过C作CE⊥x轴于E，易证得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出点C的坐标．
（2）RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
由于直线OP经过正方形的对称中线，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO与△DMR相似，则有两种情况：
①∠DRM=45°，此时DR∥y轴，即点R、D、H的横坐标都相同，由此求出点H的坐标；
②∠RDM=45°，此时R、P重合，因此R、H的横坐标相同，由此求出点H的坐标．
（3）①首先用t表示出PH的长，由于PH与y轴平行，可以PH为底、H、C的横坐标差的绝对值为高求出S的表达式，即可得S、t的函数关系式；要注意的是在表示高的过程中，要分H在C点左侧和H点在C点右侧两种情况讨论．
②此题应分三种情况讨论：
一、CR∥AB，此时R、M重合，可求出直线CD的解析式，联立直线OP的解析式，即可求得M点（即R）的坐标，进而得到H点坐标和t的值，然后再将t代入①的函数解析式中即可得到S的值；
二、AR∥BC，三、BR∥AC，解法同上．
【解析】
（1）过C作CE⊥x轴于E；
由于四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
易证得△ABO≌△BCE，
则AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）；（2分）
同理可求，D（3，4）．

（2）由于P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
可得P（2，2）；
则∠MOE=45°，又OR=t，OH=t，所以RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
①当∠MDR=45°时，R、P重合，此时R（2，2），故t=2，点H（2，0）；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，此时R（3，3），故t=3，点H（3，0）；
所以当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4-t，故S=RH•HE=t（4-t）=-t2+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t-4，故S=RH•HE=t（t-4）=t2-2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=；
即M（即R）点横坐标为，H（，0）；
故t=，代入S=-t2+2t（0＜t≤4）可得S=；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=，S=；
三、BR∥AC时，t=，S=；
综合①②可得：
S=-t2+2t（0＜t≤4）；（1分）S=t2-2t（t＞4）．
当CR∥AB时，t=，（1分）S=；
当AR∥BC时，t=，S=；
当BR∥AC时，t=，S=．