Question

如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A（1，0），B（0，）；
（2）再根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可．
【解析】
（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=，
∴A（1，0），B（0，）；

（2）∵BC是切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，
，
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+；

（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
对称轴为x=-1，设点D（-1，m），
分3种情况讨论：①BC=BD；=2，
解得m=±+；
②BC=CD；=2，解得m=±2；
③BD=CD；=，解得：m=0，
∴符合条件的点D的坐标为，（-1，+），（-1，-+），（-1，2），（-1，-2），（-1，0）．