Question

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点，
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²．

Answer

（1）可证明△APO1与△BPO2全等，则∠AO1P=∠BO2P，再根据已知可得出EO1=FO2，PO1=PO2，则△PO1E≌△FO2P，可先证明四边形PO1CO2是平行四边形，再证明CO1=CO2，即可得出四边形PO1CO2是菱形；
（2）由已知得出①成立，而②只是平行四边形；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，则c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．则CD=a，BD=2b．BC2=a2+4b2，由此得证．
【解析】
（1）∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO1=BO2，PO1BC，PO2AC，
∴四边形PO1CO2是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO1=PO2，
∴四边形PO1CO2是菱形；

（2）∵P为AB中点，∴AP=BP，
又O1为AC中点，∴O1P为△ABC的中位线，
∴O1P=O2B=BC，同理可得O2P=AO1=AC，
∴△AO1P≌△BO2P（SSS），
∴∠AO1P=∠BO2P，又∠AO1E=∠BO2F，
∴∠AO1P+∠AO1E=∠BO2P+∠BO2F，即∠PO1E=∠FO2P，
又∵O1A=O1E=O2P，且PO1=BO2=FO2，
∴△PO1E≌△FO2P；
但四边形PO1CO2不是菱形；

（3）Rt△APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD=a，BD=2b，BC2=a2+4b2，
∴BC2+3AC2=a2+4b2+3a2=4（a2+b2），
∴AB2=BC2+3AC2．