Question

问题背景：如图，点C是半圆O上一动点（点C与A、B不重合），AB=2，连接AC、BC、OC，将△AOC沿直线AC翻折得△ADC，点、E、F、G、H分别是DA、AO、OC、CD的中点．
（1）猜想证明：猜想四边形AOCD以及四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）拓展探究：探究点C在半圆弧上哪个位置时，四边形EFGH面积最大？求出这个最大值，判断此时四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer

（1）先根据翻折变换的性质得出AO=AD，CO=CD，由菱形的判定定理得出四边形AOCD是菱形，再根据三角形中位线定理得出FG平行且等于EH，进而可判断出四边形EFGH是矩形；
（2）根据AB为半圆O的直径得出∠ACB=90°，可判断出四边形AOCD是菱形，再根据菱形的性质及AO=OB判断出四边形OBCD是平行四边形，DO平行且等于BC，进而可求出矩形EFGH的面积，可知当点C位于半圆弧中点时，AB边上的高最大此时S△ACB的最大值为1，S矩形EFGH的最大值为，进而可判断出矩形EFGH是正方形．
【解析】
（1）四边形AOCD是菱形；四边形EFGH是矩形．证明如下：
由翻折可得AO=AD，CO=CD．
∵OA=OC，
∴AO=OC=CD=DA．
∴四边形AOCD是菱形；（3分）
∴AC⊥OD．
又∵EF是△AOD的中位线，
∴EF∥OD，且EF=OD，
同理可得FG∥AC，且FG=AC，EH∥AC，
且EH=AC，
∴FG平行且等于EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，且FG⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．（6分）

（2）∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
∵四边形AOCD是菱形，
∴DC平行且等于OA，
又∵AO=OB，
∴DC平行且等于OB，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∴DO平行且等于BC，
∴S矩形EFGH=EF•EH=OD•AC=BC•AC=×S△ACB，（8分）
∴当点C位于半圆弧中点时，AB边上的高最大，
即S△ACB的最大值为1．
∴S矩形EFGH的最大值为．此时AC=BC，
∴AC=OD．
∴EF=FG，
∴矩形EFGH是正方形．（10分）