Question

如图，在平面直角坐标系中，x 轴上有两点A（-2，0），B（2，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E 是AD边的中点，F 是x轴上一动点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC所在的直线与点G，连接FG．
（1）当点F与点A重合时，易得；若点F与点A不重合时，试问的值是否改变？直接写出正确判断；
（2）设点F的横坐标为x（-2＜x＜2），△FBG的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当点F在 x轴上运动时，判断有几个位置能够使得以点G为顶点三角形和以点B、F、G为顶点的三角形全等？直接写出相应的点F的坐标．

Answer

（1）利用△EHG∽△EAF，得出相似三角形对应边的比，即可得出答案；
（2）首先证明△EAF∽△EHG，再表示出△FBG的面积，利用二次函数最值求出即可；
（3）根据全等三角形的判定即可得出．
【解析】
（1）仍然成立．
证明：
过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴．
∵AF=x-（-2）=x+2，
∴HG=2（x+2）=2x+4．
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6．
∵BF=2-x．
∴△FBG的面积：S=BF×BG=（2-x）（2x+6）．
即．
∴当x=时，S的最大值为．

（3）满足要求的点F共有三个位置，
如图1：当F与A重合时，△EFG≌△BGF，
此时点F的坐标为（-2，0）；
如图2：∵△EGF≌△BFG时，EF=FB，
设AF=x，则EF=BF=4-x，
在Rt△EAF中，EF2=AE2+AF2，
∴（4-x）2=x2+4，
解得：x=，
∴OF=OA-AF=2-=，
∴此时F点的坐标为（-，0）；
如图3：设AF=x，
则EG=BF=4+x，EF=，GH=2+EF，
∵EG2=EH2+GH2，
∴x=，
∴OF=，
∴点F的坐标为（-，0）．
EH=4，即F1（-2，0），，．