Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图（3）），当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

Answer

（1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，③当OC=FC时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度；
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
（3）过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．
【解析】
（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，
①当F为BC的中点时，
∵O点为AC的中点，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=，
∵AB=BC=5，
∴BF=，
②当B与F重合时，
∵OF=OC=，
∴BF=0；

（2）如图1，连接OB，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF．

（3）如图3，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠AMP=∠FNP=90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，
∴PE：PF=1：3．