Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

Answer

（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式；
（2）当AP⊥CP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，利用互余关系得角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P点坐标；
（3）分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
当S介于这两个面积之间时，满足条件的点E有两个．
【解析】
（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，
解得，
∴y=-x2+x-2=-（x-）2+；

（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得=，即=，
解得m1=，m2=-，
∴P（，）或（，-）；

（3）①由B（6，1），C（0，-2），得直线BC的解析式为y=x-2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=×4×2+×4×=，
∵S△BOC=×2×6=6，
∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．
②当4＜S＜6时，-x2+x-2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，
需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，
故此时满足条件的点E只有一个．