Question

己知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

Answer

（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．
【解析】
（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
，
解得，
∴y=-x2+2x+6，
∵y=-（x-2）2+8，
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；

（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则
，
解得，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；

（4）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴=（）2=（）2，
即S△BDQ=（m-6）2，
又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24-（m-6）2-（3m+6）=-m2+m+=-（m-2）2+6，
∴当m=2时，S最大．