Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，且与x轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．

Answer

（1）根据对称轴x=-=-，求得二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）中的a，再根据顶点在反比例函数上，求出c即可；
（2）求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可．
（3）可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式．
【解析】
（1）∵二次函数的对称轴为，
∴-=-，
解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，
∴顶点为（-，c-），
∴（c-）=-3，
解得c=-，
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x-；

（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x-；
∴令y=0，2x2+2x-=0；
解得x=．
∴AB==2；

（3）根据对称轴x=-，当x=-时，y=-3a，
∴NO+MN=+3a≥2=2，当3a=时NO+MN最小，
 即3a2=1时，a=，
∴c=0，
∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x．