Question

如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=，其中a≥b＞0．
（1）用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O（保留作图痕迹）
（2）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）试估计代数式a+b和2的大小关系，并利用图形中线段的数量关系证明你的结论．

Answer

（1）作图思路：先作AB的垂直平分线，以垂直平分线与AB的交点为圆心，以AB的一半为半径作圆，所得的圆为所求的圆；
（2）求D是否在圆上，连接OD，如果证明了OD=OA=OB那么D就在圆上了，那么只要证明∠ADB是个直角就可以了，可通过证明△DCA∽△BCD，根据题目给出的条件，不难得出CD2=AC•CB，那么证明△DCA∽△BCD就容易多了；
（3）圆内长的弦是直径，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2，因此可得出：a+b≥2．
【解析】
（1）如图所示

（2）∵AC=a，BC=b，CD=，
∴CD2=AC•CB，即
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD；
∴∠DAB=∠CDB，∵∠DAB+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°
即∠ADB=90°，∴OA=OB=OD，∴点D在⊙O上；

（3）结论：a+b≥2；
由（2）知，点D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2．