Question

已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似．求AF：AD的值；
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值．

Answer

（1）设AF=x，再根据矩形ABEF与矩形ABCD相似即可求出x的值，进而得出AF：AD的值；
（2）由于小矩形放置的位置不确定，故应分三种情况讨论：
①两个小矩形都“竖放”；②两个小矩形都“横放”；③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”．
【解析】
（1）设AF=x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，
∴=，即=，解得x=，
∴AF：AD=：3=1：9；

（2）【解析】
两个小矩形的放置情况有如下几种：
①两个小矩形都“竖放”，如图（一），在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长分别为1和 ，
故此时周长和的最大值为 ．

②两个小矩形都“横放”，如图（二）及图（三）所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图（四），这时两个小矩形的周长和为
2（a+3a）+2（3-a+）=8+，

因为0＜3a≤1，即0＜a≤，故当a=时，此时两个小矩形的周长和最大为 ，
综上三种情形，知所求的最大值为 ．
故答案为：．