Question

已知抛物线y=，与直线l：y=x+m的左交点是A，抛物线与y轴相交于点C，直线l与抛物线的对称轴相交于点E．
（1）直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m、k的式子表示）；
（2）当m=2，k=-4时，求∠ACE的大小；
（3）是否存在正实数m=k，使得抛物线在直线l下方的一段弧上有且仅有两个点P₁和P₂，且∠A P₁E=∠A P₂E=45°？如果存在，求m的值和点P₁、P₂的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据公式法或配方法求出二次函数解析式的顶点坐标即可；
（2）根据各点坐标得出△ABE是等腰直角三角形．进而得出∠ACE=∠ABE=45°；
（3）根据抛物线y=，与直线l：y=x+m的交点得出A点坐标，进而得出符合要求p点的坐标．
【解析】
（1）可用公式法直接求出顶点D的坐标，（，k-）．

（2）当m=2，k=-4时，
点C（0，-4），
直线DE为x=3，
再由
代①入②，得x2-10x-24=0，
解得，x1=-2，x2=12．
∴点A（-2，0）、点E（3，5）．
设抛物线与x轴的另一交点是B，DE与x轴相交于点F（3，0），
∵CF=AF=EF=BF=5，且△ABE是等腰直角三角形．
∴点A、B、C、E都在⊙F上，∠ACE=∠ABE=45°．

（3）当m=k＞0时，=x+m，
得x1=0，x2=3m+4＞0．
∴点A（0，m）．
显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P1（3m，m）．
又∵由题意，点P2只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P2只能重合于点D．
设DE与AP1交于点G，
由DG=AG，即m-（k-）=，
得m=．
∴点P1（8，）、点P2（4，-）．