Question

如图，己知正方形ABCD的边长为12，点P为CD边上的一个动点（点P与D、C不重合），AP的垂直平分线EF分别交AD、AP、BC于点F、H、E，交AB的延长线于点G．
（1）证明：△BGE∽△HAF；
（2）判断EF与AP是否相等，并给出证明；
（3）连AE，若△AEH的面积是△AFH面积的2倍，试求此时FG的长．

Answer

（1）已知EF垂直平分AP可得∠AHF=∠GBE易证△BGE∽△HAF．
（2）做EM垂直AD，证明四边形EMDC为矩形，可得EM∥GA然后得证．
（3）本题要利用1，2问的答案利用三角函数进行解答．
证明：（1）在正方形ABCD中，AF∥BE，∠GBE=GAF=90°，
∵AP的垂直平分线为EF，∴∠AHF=90°，
∴∠AHF=∠GBE，（1分）
又∵∠G+∠PAG=90°，∠HAF+∠PAG=90°，
∴∠G=∠HAF．（3分）
∴△BGE∽△HAF．（4分）

（2）EF=AP．（5分）
过E作EM⊥AD交AD于M，则四边形EMDC为矩形，
∴EM=CD=AD，（6分）
又∠EMD=90°，∠GAD=∠ADP=90°，
∴∠EMD=∠GAD=∠ADP，
∴GA∥EM．
∴∠FEM=∠G．（8分）
又由（1）△BGE∽△HAF，
∴∠FEM=∠G=∠DAP．（9分）
在△PDA和△FME中
∵，
∴△PDA≌△FME，∴EF=AP．（10分）

（3）由题意有：，∴EH=2FH．（11分）
∴．∴．
又在Rt△PDA和Rt△FHA中，
由tan∠HAF=，∴DP=8，（12分）
∴，
∴．同理．
∴cos∠FAH===，得AF=．（13分）
又在Rt△FAG中，
由，又sinG=sin∠PAD，
∴sinG===，
得FG=．
即试求此时FG的长为．（14分）
〖本题解法较多，如先求BG，HG等，其它解法可比照给分〗