Question

已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．

Answer

（1）证明抛物线的对称轴＜0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）根据题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式；
（3）先设出C点坐标，根据的x1与x2关系求出m值，进而可求得△ABC的面积．
（1）证明：∵m＞0，
∴x=-=-＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）【解析】
设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=-m＜0，x1•x2=-m2＜0，
∴x1与x2异号，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x1＜0，x2＞0，
∴OA=|x1|=-x1 ，
OB=x2，
代入得：=，
=，
从而，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（3）【解析】
当x=0时，y=-m2
∴点C（0，-m2），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴（x1-x2）2=x12+（-m2）2+x22+（-m2）2
∴-2x1•x2=m4
∴-2（-m2）=m4，
解得m=，
∴S△ABC=×|AB|•|OC|=|x1-x2|•=×2m×m2=．