Question

如图，△ABE中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的长．

Answer

（1）连接OC，求证∠OCB+∠BCP=∠ECD+∠E=90°
（2）连接AC，根据直角三角形的面积公式S△ACE=AC•CE=AE•CD求解．
证明：（1）连接OC；
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°；
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO；
又∵∠DCE=∠PCB，
∴∠BCO+∠PCB=90°；
∴PD是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接AC；
∵AB=AE=5，AB是⊙O的直径，BE=6，
∴AC⊥BE且EC=BC=3；
∴由勾股定理知，AC=4；
∵CD⊥AE，
∴S△ACE=AC•CE=AE•CD，
∴DC==．