Question

已知A（5，0），点B在第一象限内，并且AB与直线l：平行，AB长为8．
（1）求点B的坐标．
（2）点P是直线l：上的动点，求△PAB内切圆的最大面积．

Answer

（1）首先求得直线AB的解析式，然后设出B点的坐标构造直角三角形并利用勾股定理得到有关B点的坐标的方程，求得B点的坐标即可；
（2）根据AB=8，以及直线l和点A的位置，求出三角形ABP的面积，利用三角形与内切圆关系是：r=（2×三角形面积）÷三角形周长（a+b+8），再根据a+b＞8找r的最大值后求得最大面积即可．
【解析】
（1）∵AB与直线l：平行，
∴设直线AB的解析式为：+b，
∵A（5，0），
∴0=×5+b，
解得：b=-，
∴直线AB的解析式为：y=，
设B点的坐标为：（x，），
作BD⊥x轴于D点，
∴BD=
AD=x-5，
∵AB长为8．
∴（）2+（x-5）2=82，
解得：x=-（不合题意舍去）或，
∴=4.8，
∴点B的坐标为：（11.4，4.8）

（2）过A点作DA⊥x轴交直线L与D点，作AC⊥OD于C点，
∵点C、D在直线l：上，
∴AC：CO=3：4，
∵OA=5，
∴AC=3，
∴S△PAB=AB•AC=×8×3=12，
∴r=，
∵△PAB周长最小时，r最大，
∴过B作点B关于直线l的对称点B′，则BB′=3×2=6，
∴AB′=10，
a+b+8=18，
∴最大r==，
∴△PAB内切圆的最大面积为：π．