Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．

Answer

（1）根据旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，从而得到全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明；
（2）在（1）的基础上，易发现该四边形的四条边相等，从而证明是菱形；
（3）根据菱形的性质和解直角三角形的知识以及等腰三角形的性质求解．
【解析】
（1）EA1=FC．
证明：（证法一）∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
由旋转可知，AB=BC1，∠A=∠C1，∠ABE=∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF．
∴BE=BF，又∵BA1=BC，
∴BA1-BE=BC-BF．即EA1=FC．
（证法二）∵AB=BC，∴∠A=∠C．
由旋转可知，∠A1=∠C，A1B=CB，而∠EBC=∠FBA1，
∴△A1BF≌△CBE．
∴BE=BF，∴BA1-BE=BC-BF，
即EA1=FC．

（2）四边形BC1DA是菱形．
证明：∵∠A1=∠ABA1=30°，
∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形．

（3）（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BG=1．
在Rt△AEG中，AE=．
由（2）知四边形BC1DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴ED=AD-AE=2-．
（解法二）∵∠ABC=120°，∠ABE=30°，∴∠EBC=90°．
在Rt△EBC中，BE=BC•tanC=2×tan30°=．
∴EA1=BA1-BE=2-．
∵A1C1∥AB，
∴∠A1DE=∠A．
∴∠A1DE=∠A1．
∴ED=EA1=2-．