Question

对于素数p，q，方程x⁴-px³+q=0有整数解，则p=    q=   

Answer

根据式子特点判断出x＞0，然后分x为偶数和x为奇数两种情况讨论，通过试解，判断出方程无偶数解，进而求出素数p、q的值．
【解析】
将方程x4-px3+q=0移项，得 x4+q=px3．
可见，x4≥0，则x4+q＞0，
所以px3＞0，
即x＞0，
本题也就是要求出使方程x4-px3+q=0有正整数解的素数p、q；
且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话，
那么p=2，
则方程成为：x4+q=2x3，
即q=2x3-x4=x3×（2-x）＞0，
得出2-x＞0，
即x＜2，
则只能是x=1，
代入方程：14+q=2×13，
即1+q=2，解得q=1，不是素数，故p必定是奇素数．
分两种情形讨论：
情形一：当x为偶数时，设为x=2n，
则有（2n）4+q=p×（2n）3，
16n4+q=p×8n3，
上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数，
否则：左端奇偶相加得奇，不符．
而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q=2，
则上式成为 16n4+2=p×8n3，
两边同时除以2，得：8n4+1=p×4n3，
显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾．
所以方程无偶整数解；
情形二：当x为奇数时，设为x=2n-1，则有（2n-1）4+q=p×（2n-1）3，
观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n-1）4是奇，所以得出q必须为偶，故素数q=2，
上式成为：（2n-1）4+2=p×（2n-1）3，
整理成：p（2n-1）3-（2n-1）^4=（2n-1）3×[p-（2n-1）]=1×2，
由于（2n-1）3为奇，
所以必有：（2n-1）3=1，
解得：n=1；
则：[p-（2n-1）]=2，
解得：p=3；
综上，对于素数p、q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p、q分别为3和2．
故答案为：p=3，q=2．