Question

如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为    ．

Answer

根据角平分线定义和三角形的内角和定理，得∠AOB=90°+∠C，再根据圆内接四边形的对角互补求得∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°．根据三角形的三条角平分线交于一点，则CO平分∠ACB，则OD=OE，∠OED=∠ODE=30°，根据三角形的内切圆的半径等于其面积2倍除以周长求解．
【解析】
作OF⊥ED于点F，
∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，
∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，
又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，
∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=30°，
∴FD=，
tan30°==，
∴FO=，OD=OE=，
∴△ODE的周长为：2+3，
∴△ODE的面积为：×3×=，
∴△ODE的内切圆半径为=3-．
故答案为：3-．