Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A，B，一条直线过A点分别与两圆相交于Y，Z，两圆分别在Y，Z处的切线相交于X，设△O₁O₂B的外接圆为⊙O，直线XB交⊙O于另一点Q，若YO₁与ZO₂相交于点P．求证：
（1）点P在⊙O上，且线段PQ是⊙O的一条直径；
（2）XQ=PQ．

Answer

（1）连接BY，BZ，先证明点P在⊙O上，再证明Y，Z，B，P四点共圆，从而得到线段PQ是⊙O的一条直径；
（2）由△O1EB∽△QEP，得，又XY∥O1Q得，从而得出XQ=PQ．
证明：（1）连接BY，BZ，
∠O1PO2=180°-∠O1YA-∠O2ZA=180°-∠O1AY-∠O2AZ=∠O1AO2=∠O1BO2
则∠YBZ=180°-（∠AYB+∠AZB）
=180°-（∠AO1B+∠O2AZ）
=180°-（∠BO1O2+∠BO2O1）
=∠O1BO2=∠O1PO2
=∠YPZ
所以Y，Z，B，P四点共圆，
又有∠XYP=∠XZP=90°知X，Y，P，Z四点共圆，所以B，X，Y，P，Z五点共圆，从而∠XBP=90°，即∠QBP=90°，
故线段PQ是⊙O的一条直径

（2）设XB，YP相交于点E，则，（因为△O1EB∽△QEP）
又由XY∥O1Q（因为∠QO1P=90°）得，
所以PQ=XP