Question

已知关于x的方程ax²+bx+c=0，甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x，满足-1≤x≤1，那么乙得胜；反之，则甲得胜．
（1）若a，b，c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？为什么？
（2）若a，b，c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？为什么？

Answer

（1）甲先选b=1，不论乙选a或c，甲总可以再选c或a，让ac＞0，使得△=1-4ac＜0，说明甲有必胜策略；
（2）①若若甲先选a=0，乙可选c≠0，甲再选b=0，这时方程ax2+bx+c=0无解，甲获胜；若甲先选a=0，乙可选c=10，甲再选b=1，这时方程ax2+bx+c=0的解为x=-10，甲获胜；
②若甲先选c≠0，则乙可令a=-c，设y=ax2+bx+c，x=-1和x=1的函数值的积小于0，说明图象的交点在-1和1之间，所以方程ax2+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根，即甲不论再选b为何值，乙总可以获胜．
说明若a，b，c可以取零，甲乙都没有必胜策略．
【解析】
（1）如果a，b，c是非零实数，那么甲有必胜策略：甲先选b=1，不论乙选a或c，甲总可以再选c或a，使得△=1-4ac＜0，从而方程ax2+bx+c=0无解，即对于任意x，y≠0，所以甲必胜；
（2）如果a，b，c可以取零，那么甲乙都没有必胜策略：
①若甲先选a=0，乙可选c≠0，甲再选b=0，这时方程ax2+bx+c=0无解，甲获胜；若甲先选a=0，乙可选c=10，甲再选b=1，这时方程ax2+bx+c=0的解为x=-10，甲获胜；
②若甲先选c≠0，则乙可令a=-c，设y=ax2+bx+c，此时x=-1，y=a+b-a；x=1，y=a-b-a，（a+b-a）（a-b-a）=-b2≤0，说明图象与x轴的交点在-1和1之间，所以方程ax2+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根，即甲不论再选b为何值，乙总可以获胜．