Question

给出如下n个平方数：1²，2²，…，n²，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L．
（1）当n=8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；
（2）当n=2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．

Answer

（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5，8项的符号于其他项的符号相反即可；
（2）由于给定的2005个数中有1003个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1．于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案；
②因为k2-（k+1）2-（k+2）2+（k+3）3=4，-k2+（k+1）2+（k+2）2-（k+3）3=-4，所以对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③若对62，72，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，…，52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．④在对12，22，…，52的设计过程中，有一种方案：-12+22-32+42-52=-15，又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，进而16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．据此设计可行方案．
【解析】
（1）当L=12-22-32+42-52+62+72-82=0
或L=-12+22+32-42+52-62-72+82=0时，|L|最小且最小值为0；
（2）当n=2005时，
①∵给定的2005个数中有1003个奇数，
∴不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案．
②∵k2-（k+1）2-（k+2）2+（k+3）3=4，-k2+（k+1）2+（k+2）2-（k+3）3=-4，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③若对62，72，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，…，52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对12，22，…，52的设计过程中，有一种方案：-12+22-32+42-52=-15，
又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．
综上，可行方案为：
首先对222，232，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，…，212，根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对12，22，…，52作-12+22-32+42-52=-15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．