Question

四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该项车间捐献给灾区多少钱？

Answer

本题是实际问题与一次函数、二次函数的综合运用，同时穿插着分段函数，需要由易到难，逐步求解；基本等量关系是：利润=（每顶帐篷订购价-每顶帐篷成本价-增加的其他费用）×生产量．
【解析】
（1）y=2x+20（1≤x≤12）；
（2）当1≤x≤5时，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000，
此时W随着x的增大而增大，
∴当x=5时，W最大值=12000；
当5＜x≤12时，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）
=-80（x-2.5）2+12500，
此时函数图象开口向下，在对称右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x=6时，W最大值=11520元．
∵12000＞11520，
∴当x=5时，W最大，且W最大值=12000元．
综上所述：
．
∴该车间捐献给灾区12000元．