Question

抛物线y=ax²-2ax+b（a＞0）交x轴于A，B两点，交y轴于C；且满足OA•OB-OC=0，若C（0，-3）
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，将此抛物线顶点沿直线y=-x-3平移，平移后的抛物线与x轴交于A′、B′两点  若2≤A′B′≤6，试求出点M的横坐标的取值范围；
（3）过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=t，且0＜t＜1．依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设A点坐标为（x1，0），（x2，0），利用图象求出b的值，根据根与系数的关系求出a的值，即可求出函数解析式．
（2）设出M点坐标，得到平移后的抛物线，根据根与系数的关系求出m的取值范围．
（3）先假设存在，根据相似三角形的性质求出t的值即存在，若不存在t，则不存在．
【解析】
（1）设A点坐标为（x1，0），（x2，0）．
∵OA•OB-OC=0，
∴|x1x2|-3=0，
则|x1x2|=3，
又∵x1＜0，x2＞0，
∴x1x2＜3，
∴＜3，
又∵b=-3，
∴=-3，
∴a=1，
故函数解析式为y=x2-2x-3．

（2）设M（m，-m-3），平移后抛物线y=（x-m）2-m-3，
当A′B′=2时利用根与系数关系可得M点横坐标x=-2，
当A′B′=6时利用根与系数关系可得M点横坐标x=6，
故-2≤x≤6．

（3）当H在QB之间：
①△COQ∽△QHP，t=；
②△COQ∽△PHQ，t=，
当H在OQ之间：
∵PH∥OQ，
∴当Q与B重合时，△COQ∽△PHQ，t=．