Question

二次函数：y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于-．
（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．

Answer

（1）先求出y=ax2-bx+b（a＞0，b＞0）的顶点的纵坐标，根据题意得出≥3，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），则x1、x2是方程ax2-bx+b=0的两根，由求根公式得出x1、x2，根据AB=|x2-x1|求出线段AB长度的最小值．
【解析】
（1）由于y=ax2-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为，
则≤-，得≥3，
所以，该二次函数图象顶点的横坐标x=≥3，
即x≥3；

（2）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
则方程ax2-bx+b=0的两根，
得x1=，x2=，
从而AB=|x2-x1|=
=
=
由（1）知≥6．
由于当≥6时，随着的增大，也随着增大，
所以=6时，线段AB长度的最小值为=2．