Question

已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CF=2，求BE的长．

Answer

（1）连接AD、OD证得AD⊥BC，从而证得OD⊥DE后即可得到DE是圆O的切线；
（2）根据平行得到比例式后求得AE的长后即可求得BE的长．
（1）证明：连接AD、OD，
∵AC是⊙0直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，（1分）
∵AC=AB，
∴BD=DC，（2分）
∵AO=OC，
∴OD∥AB，（3分）
∵AB⊥DE，
∴OD⊥DE，（4分）
∴DE是⊙0的切线；（5分）

（2）∵OD∥AB，
∴=，
∵FC=2，OA=OD=OC=3，
∴FO=5，FA=8，
∴AE===4.8，（8分）
∴BE=AB-AE=AC-AE=6-4.8=1.2．（9分）