Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE=3，BF=2，以EF、FG为邻边作▱EFGH，设AG=x．
（1）直接写出点H到AD的距离；
（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；
（3）当x为何值时，△EHC是等腰三角形．

Answer

（1）证三角形BEF、HMG全等，即可求出答案；
（2）只要求出GD的最大GD=AD和最小值H在CD上，过C作CP⊥AD于M，则MD=MH=2，求出GD=5即可；
（3）过H作HN⊥BC于N，求出△EHC是等腰三角形，求出①当EH=EC时EN=3；②当HC=EC时，EN=2，当x=8时，也成立．③当EH=HC时，EN=2.5即可得出答案．
答：（1）点H到AD的距离为2．

（2）【解析】
∵△HGD中GD边上的高为2，
①当△HDG面积取大值时，底边GD最大，
此时点G与点A重合，如图1：
∴GD=AD=14，
∴S△HGD的最大值是14；
②△HGD面积取得最小值时，底边GD最小，H越接近CD，GD就越小，
即点H在CD边上，如图2：
过C作CP⊥AD于P，过H点作HM⊥AD于M，
∵CP=DP=6，
∴∠D=45°，
则MD=MH=2，
显然△HMG≌△FBE，
∴GM=BE=3，
∴GD=GM+MD=5，
∴S△HGD的最小值是5，
答：△HGD面积的最大值是14，最小值是5．

（3）【解析】
过H作HN⊥BC于N，如图3：
显然Rt△FAG≌Rt△HNE，
∵EC=BC-BE=5，HN=FA=AB-FB=4，EN=AG=x，
∵△EHC是等腰三角形，
①当EH=EC时，EH=5，HN=4，
∴EN=3即x=3，
②当HC=EC时，HC=5，HN=4，
∴NC=3 EN=EC-NC=2，即x=2，
当x=8时，如右图，也可以成立．
③当EH=HC时，EN=NC=EC=2.5，
综上所述，当x=2或2.5或3时，△EHC是等腰三角形，
答：当x为3或8或2.5时，△EHC是等腰三角形．