Question

如图所示，直线y=kx+6与函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点．又AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．已知△COD的面积是△AOB面积的倍．
（1）求y₁-y₂的值．
（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图．
（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=（x＞0，m＞0）的图象上，且x1＜x2，得y1＞y2＞0；再根据S△COD=S△AOB利用三角形的面积公式得到OC=（y1-y2），求出C点坐标，即可得到y1-y2=2；
（2）由（1）知（y1-y2）2=12，变形为（y1+y2）2-4y1y2=12①，由y=kx+6与y=消去x得关于y的方程y2-6y-km=0②，利用根与系数的关系得到y1+y2=6，y1y2=-km，然后代入①，得k与m之间的函数关系式；
（3）把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入y=kx+6上，有x1=（y1-6），x2=（y2-6），得到EF=x2-x1=-（y1-y2），利用S梯形AEFB=•（AE+BF）•EF=•（y1+y2）•[-（y1-y2）]=-（y1-y2）（y1+y2），然后把y1-y2=2，y1+y2=6代入即可得到k的值，再把k的值代入（2）的结论中，可求出m的值．
【解析】
（1）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=（x＞0，m＞0）的图象上，且x1＜x2，
∴y1＞y2＞0，
而S△COD=S△AOB，
∴S△COD=（S△AOD-S△BOD），
∴•OC•OD=（•OD•y1-•OD•y2），
∴OC=（y1-y2），
在y=kx+6中令x=0，得y=6，即C点坐标为（0，6），
∴OC=6，
∴y1-y2=2；

（2）由（1）知（y1-y2）2=12，
即（y1+y2）2-4y1y2=12①，
由y=可得x=，代入y=kx+6并整理得：y2-6y-km=0②，
依题意，y1，y2是此方程的两根，
∴y1+y2=6，y1y2=-km，
代入①得：62-4×（-km）=12，解得k=-，
由图知，k＜0，而m＞0
又方程②的判别式△=36+4km=12＞0，
∴所求的函数关系式为k=-（m＞0），
其草图如右图所示；

（3）存在．理由如下：
设存在k，m使得S梯形AEFB=6，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=kx+6上，所以有x1=（y1-6），x2=（y2-6），
∴EF=x2-x1=-（y1-y2），
∴S梯形AEFB=•（AE+BF）•EF
=•（y1+y2）•[-（y1-y2）]
=-（y1-y2）（y1+y2），
由（1）有y1-y2=2，y1+y2=6代入上式得：S梯形AEFB=-×6×2=6，
∴k=-，代入k=-解得m=2．
故存在k=-，m=2满足条件．