Question

已知抛物线y=x²-（m+3）x+（m+1）．
（1）小明发现无论m为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明．
（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M，N两点，且线段MN的长度为2，求此抛物线的解析式．
（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点A，过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点B，与抛物线的对称轴交于点D，点C为抛物线的顶点．问在线段AB上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由．

Answer

（1）运用判别式进行判断即可；
（2）设M（x1，0），则N（x2，0），由根与系数关系得x1+x2=m+3，x1•x2=（m+1），再由|x1-x2|=2，两边平方，将两根关系代入求m的值；
（3）存在．根据抛物线解析式求A点坐标及顶点C的坐标，确定直线y=x+b的解析式，再求D点坐标，得到CD的长，设过P点的直线为x=n，分别代入直线、抛物线解析式，可求P、E两点的纵坐标，表示线段PE的长，根据PE=CD，列方程求n的值，再求平行四边形的面积．
【解析】
（1）∵y=x2-（m+3）x+（m+1）的判别式为
△=[-（m+3）]2-4×（m+1）=m2+3＞0，
∴无论m为何值时，抛物线总与x轴相交；

（2）设M（x1，0），则N（x2，0），
∵x1+x2=m+3，x1•x2=（m+1），|x1-x2|=2，
∴两边平方，得（x1-x2）2=4，
即（x1+x2）2-4x1•x2=4，
将两根关系代入，得（m+3）2-4×（m+1）=4，
解得m=±1，
当m=-1时，x1•x2=（m+1）=0，不符合题意，舍去，
∴m=1，y=x2-4x+3；

（3）存在．
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴A（0，3），C（2，-1），
∴直线AB：y=x+3，D（2，5），
则CD=5-（-1）=6，
设过P点的直线为x=n，
则P（n，n+3），E（n，n2-4n+3），
∴PE=（n+3）-（n2-4n+3）=-n2+5n，
当四边形DCEP为平行四边形时，PE=CD，
即-n2+5n=6，解得n=2或3，当n=2时，PE与CD重合，舍去，
当n=3时，▱CDPE的面积=（-n2+5n）×（3-2）=6．