Question

已知，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），，此抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．
①求E点的坐标；
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．
（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）①由于△ABC绕AB的中点M旋转180°，可知点E和点C关于点M对称，由此利用已知条件即可求出E的坐标；
②四边形AEBC是矩形．根据旋转可以得到△ABC≌△AEB，再根据全等三角形的性质得到AC=EB，AE=BC，接着证明AEBC是平行四边形，而在Rt△ACO中，OC=，OA=3，由此得到∠CAB=30°，再利用评选四边形的性质得到∠ABE=30°，最后在Rt△COB中利用三角函数求出∠CBO=60°，接着就可以证明∠CBE=90°，这样就可以证明四边形ABEC是矩形；（3）首先假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．由于AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小，而根据四边形AEBC是矩形可以得到A（-3，0）关于点C（0，）的对称点A1（3，2），点A与点A1也关于直线BC对称．连接A1D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．接着利用待定系数法求出BC、A1D的解析式，接着联立解析式解方程组即可P的坐标．
【解析】
（1）∵y=ax2+bx+c过C（0，），
∴，
又y=ax2+bx+c过点A（-3，0）、B（1，0），
∴，
∴，
∴此抛物线的解析式为；

（2）①△ABC绕AB的中点M旋转180°．可知点E和点C关于点M对称，
∴M（-2，0），C（0，），
∴E（-2，-）；
②四边形AEBC是矩形．
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC
∴AEBC是平行四边形
在Rt△ACO中，OC=，OA=3，
∴∠CAB=30°，
∵AEBC是平行四边形，
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°，
在Rt△COB中，
∵OC=，OB=1，
∴∠CBO=60°
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°
ABEC是矩形；

（3）假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．
因为AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°．
∴A（-3，0）关于点C（0，）的对称点A1（3，2）．
点A与点A1也关于直线BC对称．
连接A1D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．
∵B（1，0）、C（0，）
∴BC的解析式为
∵A1（3，2）、D（-1，）
∴A1D的解析式为．
∴
∴
∴P的坐标为（）．