Question

已知二次函数的图象过点（4，3），它的顶点坐标是（2，-1）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，线段AC的垂直平分线与x轴交于点D．求：①点D的坐标；②△DBC的外接圆半径R的值．

Answer

（1）由二次函数的图象过点（4，3），它的顶点坐标是（2，-1），设顶点式，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（2）①首先由（1）中的解析式，求得点A，B，C的坐标，然后由线段AC的垂直平分线与x轴交于点D，设D（x，0），根据AD=CD列方程，解方程即可求得点D的坐标；
②由△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点，首先求得此外接圆的圆心的横坐标，然后设其坐标为F（-，y），由FC=FB，即可求得y的值，则可得△DBC的外接圆半径R的值．
【解析】
（1）设这个二次函数的关系式为：y=a（x-2）2-1，
∵二次函数的图象过点（4，3），
∴3=4a-1，
解得：a=1，
∴这个二次函数的关系式为y=（x-2）2-1；

（2）①∵令x=0，可得y=3，
令y=0，可得：x=1或x=3，
∴点A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵线段AC的垂直平分线与x轴交于点D，
∴AD=CD，
设D（x，0），
则（1-x）2=x2+9，
解得：x=-4，
∴点D的坐标为（-4，0）；

②∵△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点，
∴点F的横坐标为=-，
设点F（-，y），
∵FC=FB，
∴+（y-3）2=（3+）2+y2，
解得：y=-，
∴点F（-，-）．
∴R=+（--3）2=．
∴△DBC的外接圆半径R的值为．