Question

如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C（0，-3），且BO=CO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的顶点为M，试判断并证明△BCM是否直角三角形．

Answer

（1）由于BO=OC=3，可得出B点的坐标，然后将B，C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）先根据（1）得出的抛物线求出M点的坐标，然后用坐标系中两点的距离公式分别求出BC2，OM2，CM2的值，根据勾股定理即可判断出△BCM是否为直角三角形．
【解析】
（1）∵BO=CO，点B在x轴的正半轴，C（0，-3），
∴B（3，0），
∵点B、C都在抛物线上，
∴．
∴b=-2，c=-3，
∴y=x2-2x-3；

（2）△BCM是直角三角形．
证明：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴M（1，-4），
∴CM2=1+1=2，BM2=（3-1）2+42=20，BC2=32+32=18，
∴CM2+BC2=BM2
∴△BCM是直角三角形．