Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：BD=2AC；
（2）若∠C=45°，求证：AC²=DC•BC．

Answer

（1）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知AE==BE，再由三角形外角的性质即可得出∠AEC=2∠B，由∠C=2∠B可知AC=AE，再根据AE=即可求出答案；
（2）先由∠AEC=∠C，∠C=45°可判断出∠EAC=90°，由AD⊥AB可知∠BAD=90°，进而可得出∠B=∠DAC，由相似三角形的性质得出△ADC∽△BAC，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
【解析】
（1）证明：∵AD⊥AB，点E是BD的中点，
∴AE==BE（1分）
∴∠B=∠BAE，（1分）
∵∠AEC=∠B+∠BAE（1分）
∴∠AEC=2∠B（1分）
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C（1分）
∴AC=AE（1分）
∵AE=，
∴AC=，即BD=2AC（1分）

（2）证明：∵∠AEC=∠C，∠C=45°，
∴∠EAC=90°，（1分）
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠BAE=∠DAC，（1分）
∵∠B=∠BAE，
∴∠B=∠DAC，（1分）
又∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，（1分）
∴=，即AC2=DC•BC（1分）